Номер 5, страница 56 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а внешний угол при вершине, противолежащий третьей стороне, равен $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим известные стороны треугольника как $a = 5$ см и $b = 8$ см. Требуется найти третью сторону, которую назовем $c$.

По условию, внешний угол при вершине, противолежащей стороне $c$, равен $120°$. Внутренний угол при этой же вершине (обозначим его $\gamma$) и соответствующий ему внешний угол являются смежными, а их сумма равна $180°$. Следовательно, мы можем найти величину внутреннего угла $\gamma$:
$\gamma = 180° - 120° = 60°$.

Таким образом, мы имеем треугольник с двумя известными сторонами $a=5$ см, $b=8$ см и углом между ними $\gamma = 60°$. Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим известные значения в формулу:
$c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$.

Значение косинуса $60°$ является табличным: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$. Продолжим вычисления:
$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 89 - 80 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 89 - 40$
$c^2 = 49$.

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как длина стороны может быть только положительным числом, получаем:
$c = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.