Номер 9, страница 55 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. На плане размеры прямоугольника $32 \text{ мм} \times 25 \text{ мм}$. В реальности площадь прямоугольника равна $200 \text{ см}^2$. Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям его периметр на $230 \text{ мм}$ больше периметра прямоугольника.

Определение масштаба плана
Сначала найдем площадь прямоугольника на плане. Размеры на плане составляют 32 мм и 25 мм.

Площадь на плане: $S_{план} = 32 \text{ мм} \times 25 \text{ мм} = 800 \text{ мм}^2$.
Реальная площадь прямоугольника $S_{реал} = 200 \text{ см}^2$. Переведем эту площадь в квадратные миллиметры, учитывая, что в 1 см содержится 10 мм, а значит в 1 см² содержится $10^2 = 100 \text{ мм}^2$.
$S_{реал} = 200 \times 100 = 20000 \text{ мм}^2$.
Отношение площади на плане к реальной площади равно квадрату линейного масштаба $k$.
$k^2 = \frac{S_{план}}{S_{реал}} = \frac{800}{20000} = \frac{8}{200} = \frac{1}{25}$.
Отсюда находим линейный масштаб: $k = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.
Это означает, что масштаб плана 1:5, то есть 1 мм на плане соответствует 5 мм в реальности.
Ответ: Масштаб плана 1:5.

Расчет реального периметра прямоугольника
Теперь найдем реальные размеры прямоугольника, используя найденный масштаб. Размеры на плане – 32 мм и 25 мм. Чтобы найти реальные размеры, нужно размеры на плане разделить на масштабный коэффициент $k$.
Реальная длина одной стороны: $a_{реал} = \frac{32 \text{ мм}}{1/5} = 32 \times 5 = 160 \text{ мм}$.
Реальная длина другой стороны: $b_{реал} = \frac{25 \text{ мм}}{1/5} = 25 \times 5 = 125 \text{ мм}$.
Теперь рассчитаем реальный периметр прямоугольника $P_{прям}$.
$P_{прям} = 2 \times (a_{реал} + b_{реал}) = 2 \times (160 + 125) = 2 \times 285 = 570 \text{ мм}$.
Ответ: Реальный периметр прямоугольника равен 570 мм.

Нахождение реальной стороны квадрата
По условию задачи, реальный периметр квадрата $P_{кв}$ на 230 мм больше реального периметра прямоугольника.
$P_{кв} = P_{прям} + 230 \text{ мм} = 570 \text{ мм} + 230 \text{ мм} = 800 \text{ мм}$.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \times c_{реал}$, где $c_{реал}$ — длина его стороны.
Найдем реальную длину стороны квадрата:
$c_{реал} = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{800 \text{ мм}}{4} = 200 \text{ мм}$.
Ответ: Реальная сторона квадрата равна 200 мм.

Определение размеров квадрата на плане
Чтобы изобразить квадрат в заданном масштабе 1:5, необходимо найти длину его стороны на плане $c_{план}$. Для этого нужно реальную длину стороны умножить на масштабный коэффициент $k$.
$c_{план} = c_{реал} \times k = 200 \text{ мм} \times \frac{1}{5} = 40 \text{ мм}$.
Таким образом, на плане нужно изобразить квадрат со стороной 40 мм.
Ответ: На плане следует изобразить квадрат со стороной 40 мм.