Номер 8, страница 55 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Постройте график функции $y = \frac{(2x-5)^2}{2x-5}$. Определите, при каких значениях аргумента значение функции не больше 7.

Для построения графика функции $y = \frac{(2x-5)^2}{2x-5}$ сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому:
$2x - 5 \ne 0$
$2x \ne 5$
$x \ne 2.5$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

На области определения функцию можно упростить, сократив дробь на $(2x-5)$:
$y = \frac{(2x-5)^2}{2x-5} = 2x-5$
Следовательно, график исходной функции — это график прямой $y=2x-5$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна $2.5$.

Найдем ординату выколотой точки, подставив $x=2.5$ в уравнение прямой:
$y = 2 \cdot 2.5 - 5 = 5 - 5 = 0$
Таким образом, точка с координатами $(2.5; 0)$ не принадлежит графику функции.

Итак, график функции — это прямая $y=2x-5$ с выколотой точкой $(2.5; 0)$. Для построения этой прямой достаточно двух точек. Например:
При $x=0$, $y=2(0)-5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
При $x=4$, $y=2(4)-5 = 3$. Точка $(4; 3)$.
График представляет собой прямую, проходящую через эти точки, с разрывом в точке $(2.5; 0)$.

Далее определим, при каких значениях аргумента $x$ значение функции $y$ не больше 7. Это условие можно записать в виде неравенства:
$y \le 7$

Подставим в неравенство упрощенное выражение для функции и решим его:
$2x - 5 \le 7$
$2x \le 7 + 5$
$2x \le 12$
$x \le 6$

Это решение необходимо совместить с областью определения функции, т.е. исключить значение $x=2.5$.
Объединяя условия $x \le 6$ и $x \ne 2.5$, получаем итоговое множество значений для $x$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x-5$ с выколотой точкой $(2.5; 0)$. Значение функции не больше 7 при $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; 6]$.