Номер 7, страница 55 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств $\begin{cases} \frac{1}{3}(x+3) \ge \frac{6x-7}{4}, \\ \frac{1}{4}x + 3 \le 6,5x + 2. \end{cases}$

Для нахождения наибольшего целого числа, принадлежащего множеству решений системы, необходимо решить каждое неравенство, найти пересечение полученных множеств решений и определить наибольшее целое число в этом пересечении.

Решение первого неравенства:

$\frac{1}{3}(x + 3) \ge \frac{6x - 7}{4}$

Для устранения дробей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12.

$12 \cdot \frac{1}{3}(x + 3) \ge 12 \cdot \frac{6x - 7}{4}$

$4(x + 3) \ge 3(6x - 7)$

Раскроем скобки:

$4x + 12 \ge 18x - 21$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а постоянные — в другой:

$12 + 21 \ge 18x - 4x$

$33 \ge 14x$

Разделив обе части на 14 (знак неравенства не меняется), получим:

$x \le \frac{33}{14}$

Решение второго неравенства:

$\frac{1}{4}x + 3 \le 6,5x + 2$

Представим 6,5 в виде обыкновенной дроби $6,5 = \frac{13}{2}$.

$\frac{1}{4}x + 3 \le \frac{13}{2}x + 2$

Сгруппируем слагаемые:

$3 - 2 \le \frac{13}{2}x - \frac{1}{4}x$

$1 \le (\frac{26}{4} - \frac{1}{4})x$

$1 \le \frac{25}{4}x$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части на $\frac{4}{25}$:

$\frac{4}{25} \le x$

Нахождение решения системы и наибольшего целого числа:

Объединим решения обоих неравенств:

$\frac{4}{25} \le x \le \frac{33}{14}$

Для определения целых чисел в этом промежутке переведем дроби в десятичный вид:

$\frac{4}{25} = 0,16$

$\frac{33}{14} = 2\frac{5}{14} \approx 2,357$

Итак, искомое число $x$ должно удовлетворять условию $0,16 \le x \le 2,357...$ .

Целыми числами, входящими в этот промежуток, являются 1 и 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2