Номер 3, страница 54 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный;

б) центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;

в) если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник;

г) вписанный угол равен соответствующему центральному углу?

Для нахождения неверного утверждения необходимо последовательно проверить истинность каждого из предложенных вариантов.

а) треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный;

Для проверки этого утверждения применяется обратная теорема Пифагора. Она гласит, что если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный. В данном случае большая сторона равна 5. Проверим равенство: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Выполним вычисления: $9 + 16 = 25$. Квадрат большей стороны: $5^2 = 25$. Так как $25 = 25$, равенство верно, следовательно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Ответ: утверждение верно.

б) центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;

Это утверждение является фундаментальной теоремой геометрии. Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Множество точек, равноудаленных от концов отрезка (в данном случае — стороны треугольника), представляет собой серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка, равноудаленная от всех трех вершин, должна лежать на пересечении трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Ответ: утверждение верно.

в) если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник;

Это утверждение является одним из признаков прямоугольника. Можно доказать это свойство, используя свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$, а диагонали $d_1$ и $d_2$. Тогда $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$. Если диагонали равны, $d_1 = d_2 = d$, то $2d^2 = 2a^2 + 2b^2$, или $d^2 = a^2 + b^2$. Рассмотрим треугольник, состоящий из сторон $a$, $b$ и диагонали $d$. Для него выполняется соотношение теоремы Пифагора, а это значит, что угол между сторонами $a$ и $b$ равен $90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: утверждение верно.

г) вписанный угол равен соответствующему центральному углу?

Это утверждение неверно. Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине величины центрального угла, который опирается на ту же дугу. Если обозначить вписанный угол как $\alpha$, а соответствующий ему центральный угол как $\beta$, то их связь выражается формулой $\alpha = \frac{1}{2}\beta$. Равенство $\alpha = \beta$ в общем случае не выполняется.

Ответ: утверждение неверно.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенных является утверждение г).