Номер 9, страница 53 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Барановичскому станкостроительному заводу поступил заказ на изготовление 1200 дробилок, которые используют для дробления пластиковых деталей, к определенному сроку. Работая точно по графику, рабочие изготовили $25 \, \%$ заказа, а затем стали производить в день на 50 дробилок больше и выполнили заказ за 3 дня до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая производительность рабочих, то есть количество дробилок, которое они должны были изготавливать в день по графику.

Пусть $T$ — плановый срок выполнения всего заказа в днях.

Весь заказ составляет 1200 дробилок.

Следовательно, плановое уравнение работы: $x \cdot T = 1200$.

Этап 1: Работа по графику.
Рабочие изготовили 25% от всего заказа. Найдем это количество: $1200 \cdot 0.25 = 300$ дробилок.

Время, затраченное на изготовление этой части заказа, составляет: $t_1 = \frac{300}{x}$ дней.

Этап 2: Работа с повышенной производительностью.
После выполнения 25% заказа рабочие стали производить в день на 50 дробилок больше. Их новая производительность стала $x + 50$ дробилок в день.

Оставшаяся часть заказа: $1200 - 300 = 900$ дробилок.

Время, затраченное на изготовление оставшейся части заказа: $t_2 = \frac{900}{x + 50}$ дней.

Составление и решение уравнения.
Общее время, затраченное на выполнение всего заказа, равно $t_1 + t_2$.

По условию, рабочие выполнили заказ на 3 дня раньше назначенного срока $T$.

Значит, фактическое время выполнения заказа: $T - 3$.

Получаем равенство: $t_1 + t_2 = T - 3$.

Выразим плановый срок $T$ из начального уравнения: $T = \frac{1200}{x}$.

Теперь подставим все выражения в наше равенство: $\frac{300}{x} + \frac{900}{x + 50} = \frac{1200}{x} - 3$

Перенесем $\frac{300}{x}$ в правую часть уравнения: $\frac{900}{x + 50} = \frac{1200}{x} - \frac{300}{x} - 3$ $\frac{900}{x + 50} = \frac{900}{x} - 3$

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а число — в другую: $3 = \frac{900}{x} - \frac{900}{x + 50}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x + 50)$: $3 = \frac{900(x + 50) - 900x}{x(x + 50)}$ $3 = \frac{900x + 45000 - 900x}{x^2 + 50x}$ $3 = \frac{45000}{x^2 + 50x}$

Отсюда получаем: $3(x^2 + 50x) = 45000$ $x^2 + 50x = 15000$ $x^2 + 50x - 15000 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15000) = 2500 + 60000 = 62500$ $\sqrt{D} = \sqrt{62500} = 250$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-50 - 250}{2} = \frac{-300}{2} = -150$. Этот корень не подходит, так как производительность не может быть отрицательной. $x_2 = \frac{-50 + 250}{2} = \frac{200}{2} = 100$.

Итак, плановая производительность составляла 100 дробилок в день.

Нахождение общего времени выполнения заказа.
Теперь найдем, за сколько дней рабочие выполнили заказ. Для этого нужно сложить время, затраченное на каждом этапе, используя найденное значение $x = 100$.

Время на первом этапе: $t_1 = \frac{300}{100} = 3$ дня.

Время на втором этапе: $t_2 = \frac{900}{100 + 50} = \frac{900}{150} = 6$ дней.

Общее время выполнения заказа: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 + 6 = 9$ дней.

Проверка:

Плановая производительность 100 дробилок/день. Плановый срок $T = \frac{1200}{100} = 12$ дней.

Фактическое время 9 дней. Это на $12 - 9 = 3$ дня раньше срока, что соответствует условию задачи.

Ответ: рабочие выполнили заказ за 9 дней.