Номер 8, страница 53 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите частное m и n, если $m = 3^{-2} \cdot 3^{2} \cdot \frac{(7^{-1})^{-2}}{3^{-5}}$

и $n = \frac{1}{7^{-2}} \cdot 9^{-1} \cdot \frac{1}{3^{-5}}$.

Чтобы найти частное $m$ и $n$, необходимо сначала упростить каждое из выражений.

Упростим выражение для $m$:

Дано выражение $m = 3^{-2} \cdot 3^2 \cdot \frac{(7^{-1})^{-2}}{3^{-5}}$.
Воспользуемся свойствами степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.
• Степень с отрицательным показателем в знаменателе равна степени с положительным показателем в числителе: $\frac{1}{a^{-x}} = a^x$.

Применим эти свойства:
$3^{-2} \cdot 3^2 = 3^{-2+2} = 3^0 = 1$.
$(7^{-1})^{-2} = 7^{(-1) \cdot (-2)} = 7^2$.
Выражение для $m$ принимает вид:
$m = 1 \cdot \frac{7^2}{3^{-5}} = 7^2 \cdot 3^5$.

Упростим выражение для $n$:

Дано выражение $n = \frac{1}{7^{-2}} \cdot 9^{-1} \cdot \frac{1}{3^{-5}}$.
Упростим каждый множитель:
$\frac{1}{7^{-2}} = 7^2$.
$9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.
$\frac{1}{3^{-5}} = 3^5$.
Теперь перемножим полученные значения:
$n = 7^2 \cdot 3^{-2} \cdot 3^5$.
Сложим показатели степеней с основанием 3:
$n = 7^2 \cdot 3^{-2+5} = 7^2 \cdot 3^3$.

Найдем частное $m$ и $n$:

Теперь, когда выражения для $m$ и $n$ упрощены, найдем их частное $\frac{m}{n}$.
$\frac{m}{n} = \frac{7^2 \cdot 3^5}{7^2 \cdot 3^3}$.
Сократим общий множитель $7^2$ в числителе и знаменателе.
$\frac{m}{n} = \frac{3^5}{3^3}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$):
$\frac{m}{n} = 3^{5-3} = 3^2$.
Вычислим результат:
$3^2 = 9$.

Ответ: 9