Номер 10, страница 57 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $40 \text{ см}^2$. К отрезку $DM$ проведен перпендикуляр $AK$. Найдите площадь четырехугольника $ABMK$.

Пусть сторона квадрата ABCD равна $a$. По условию, площадь квадрата равна 40 см², следовательно, $S_{ABCD} = a^2 = 40 \text{ см}^2$.

Точка M — середина стороны BC. Это означает, что $BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

Площадь искомого четырехугольника ABMK можно представить как сумму площадей двух треугольников: $\triangle ABM$ и $\triangle AMK$. $S_{ABMK} = S_{ABM} + S_{AMK}$.

Найдем площадь треугольника ABM. Так как ABCD — квадрат, угол $\angle B = 90^\circ$, и $\triangle ABM$ является прямоугольным. Его катеты $AB = a$ и $BM = \frac{a}{2}$. $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Подставив значение $a^2 = 40$, получим: $S_{ABM} = \frac{40}{4} = 10 \text{ см}^2$.

Для того чтобы найти площадь $\triangle AMK$, мы сначала найдем площадь $\triangle ADM$. Площадь $\triangle ADM$ можно вычислить, отняв от площади всего квадрата площади двух других прямоугольных треугольников: $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$.

Площадь $\triangle DCM$ равна: $S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = \frac{40}{4} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь площадь $\triangle ADM$: $S_{ADM} = S_{ABCD} - S_{ABM} - S_{DCM} = 40 - 10 - 10 = 20 \text{ см}^2$.

Точка K лежит на отрезке DM. Треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle AMK$ имеют общую вершину A, а их основания DK и MK лежат на одной прямой DM. Следовательно, $S_{AMK} = S_{ADM} - S_{ADK}$. Чтобы найти $S_{AMK}$, нам нужно вычислить $S_{ADK}$.

Для нахождения площади $\triangle ADK$ воспользуемся методом координат. Поместим квадрат в систему координат так, чтобы вершина D совпала с началом координат D(0, 0), а стороны DC и DA лежали на осях OX и OY соответственно. Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты: D(0, 0), C($a$, 0), B($a$, $a$), A(0, $a$).

Координаты точки M, середины стороны BC, будут: $M = (a, \frac{a}{2})$.

Прямая DM проходит через точки D(0, 0) и M($a$, $a/2$). Ее угловой коэффициент $k_{DM} = \frac{a/2 - 0}{a - 0} = \frac{1}{2}$. Уравнение прямой DM: $y = \frac{1}{2}x$.

По условию, отрезок AK перпендикулярен отрезку DM. Угловой коэффициент прямой AK будет равен $k_{AK} = -\frac{1}{k_{DM}} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

Прямая AK проходит через точку A(0, $a$). Ее уравнение: $y - a = -2(x - 0)$, то есть $y = -2x + a$.

Точка K — это точка пересечения прямых DM и AK. Для нахождения ее координат решим систему уравнений: $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x \\ y = -2x + a \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем: $\frac{1}{2}x = -2x + a \Rightarrow \frac{5}{2}x = a \Rightarrow x_K = \frac{2a}{5}$.

Теперь найдем ординату: $y_K = \frac{1}{2}x_K = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} = \frac{a}{5}$.

Таким образом, координаты точки K: $(\frac{2a}{5}, \frac{a}{5})$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ADK с вершинами A(0, $a$), D(0, 0) и K($\frac{2a}{5}, \frac{a}{5}$). В качестве основания возьмем сторону AD, которая лежит на оси OY. Длина основания $AD = a$. Высота треугольника, опущенная из вершины K на основание AD (или на ось OY), равна абсциссе точки K, то есть $h = x_K = \frac{2a}{5}$. $S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2a}{5} = \frac{a^2}{5}$.

Подставляя $a^2 = 40$: $S_{ADK} = \frac{40}{5} = 8 \text{ см}^2$.

Теперь вычислим площадь $\triangle AMK$: $S_{AMK} = S_{ADM} - S_{ADK} = 20 - 8 = 12 \text{ см}^2$.

Наконец, найдем искомую площадь четырехугольника ABMK: $S_{ABMK} = S_{ABM} + S_{AMK} = 10 + 12 = 22 \text{ см}^2$.

Ответ: $22 \text{ см}^2$.