Номер 3, страница 58 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту;

б) медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $3:1$;

в) касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания;

г) катет в любом прямоугольном треугольнике всегда меньше гипотенузы?

а) Данное утверждение является верной формулировкой теоремы о площади трапеции. Площадь трапеции ($S$) действительно равна произведению полусуммы ее оснований ($a$ и $b$) на высоту ($h$). Математически это выражается формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: верно.

б) Данное утверждение неверно. Согласно свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Утверждение, что они делятся в отношении 3:1, является ошибочным.
Ответ: неверно.

в) Данное утверждение является одной из фундаментальных теорем геометрии, касающихся окружностей. Радиус, проведенный в точку касания, всегда образует с касательной прямой угол, то есть он перпендикулярен ей. Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: верно.

г) Данное утверждение верно. Это следует как из теоремы Пифагора, так и из соотношений между сторонами и углами в треугольнике. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Так как длины катетов $a$ и $b$ являются положительными числами, то $c^2$ всегда будет больше, чем $a^2$ и $b^2$ по отдельности. Следовательно, $c > a$ и $c > b$. Также, гипотенуза лежит напротив самого большого угла в треугольнике (прямого, $90^\circ$), а катеты — напротив острых углов (меньше $90^\circ$), а в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Ответ: верно.