номер 10, страница 59 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны. Высота $BH$, проведенная к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $K$; $BK = 10$ см, $KH = 6$ см.

Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Поскольку в параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, данный параллелограмм является ромбом. В ромбе все стороны равны, т.е. $AB = BC = CD = AD$.

Высота $BH$ проведена к стороне $AD$. Ее длина складывается из длин отрезков $BK$ и $KH$: $BH = BK + KH = 10 + 6 = 16$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle CKB$ и $\triangle AKH$.

1. Стороны ромба $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle KCB$ и $\angle KAH$ равны.

2. Углы $\angle CKB$ и $\angle AKH$ равны как вертикальные.

Таким образом, $\triangle CKB \sim \triangle AKH$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{BC}{AH} = \frac{BK}{KH}$

Так как $ABCD$ — ромб, то $BC = AD$. Подставим известные значения и заменим $BC$ на $AD$: $\frac{AD}{AH} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Отсюда выразим $AD$ через $AH$: $AD = \frac{5}{3}AH$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$

Так как $AB = AD$, мы можем записать: $AD^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим в это уравнение выражение $AD = \frac{5}{3}AH$ и значение $BH = 16$ см: $(\frac{5}{3}AH)^2 = AH^2 + 16^2$

$\frac{25}{9}AH^2 = AH^2 + 256$

$\frac{25}{9}AH^2 - AH^2 = 256$

$\frac{16}{9}AH^2 = 256$

$AH^2 = \frac{256 \cdot 9}{16} = 16 \cdot 9 = 144$

$AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем длину стороны ромба $AD$: $AD = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3} \cdot 12 = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Площадь параллелограмма (ромба) находится по формуле "основание умножить на высоту": $S_{ABCD} = AD \cdot BH$

$S_{ABCD} = 20 \cdot 16 = 320$ см$^2$.

Ответ: 320 см$^2$.