Номер 4, страница 60 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

4. Используйте схему для решения неравенства $\frac{(x - 3)^2 (x + 1)^2}{(x - 2)^4} \le 0$ и запишите ответ.

Данное неравенство $\frac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-2)^4} \le 0$ нужно решить, используя предложенную схему. Эта схема представляет собой графическую иллюстрацию метода интервалов для функции $f(x) = \frac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-2)^4}$.

1. Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$(x-2)^4 \ne 0 \implies x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.
На схеме эта точка $x=2$ отмечена выколотым (пустым) кружком, что означает, что она не входит в решение.

2. Далее рассмотрим само неравенство. Оно имеет вид $f(x) \le 0$. Это означает, что нам нужно найти значения $x$, при которых функция $f(x)$ отрицательна или равна нулю.

3. Проанализируем знак функции $f(x)$. Все множители в выражении находятся в четной степени: $(x-3)^2$, $(x+1)^2$ и $(x-2)^4$. Любое число в четной степени всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю). Следовательно, числитель $(x-3)^2(x+1)^2 \ge 0$ и знаменатель $(x-2)^4 > 0$ (так как $x \ne 2$).

Частное двух неотрицательных чисел (причем знаменатель строго положителен) также является неотрицательным. То есть, $f(x) = \frac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-2)^4} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

На схеме это показано тем, что график функции расположен полностью выше оси $x$, нигде не уходя в отрицательную область.

4. Поскольку функция $f(x)$ никогда не бывает отрицательной ($f(x) < 0$ не имеет решений), неравенство $f(x) \le 0$ может выполняться только в случае, когда $f(x) = 0$.

5. Найдем, при каких значениях $x$ функция равна нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

$(x-3)^2(x+1)^2 = 0$
Это происходит, если $x-3=0$ или $x+1=0$.
Получаем два значения: $x=3$ и $x=-1$.

Эти точки принадлежат области определения. На схеме они отмечены закрашенными (сплошными) точками, что соответствует нестрогому знаку неравенства "$\le$". В этих точках график касается оси $x$.

Таким образом, решениями неравенства являются только те значения $x$, при которых выражение равно нулю.

Ответ: $\{-1; 3\}$.