Номер 9, страница 61 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Сколько решений имеет система уравнений

$$\begin{cases} x^2 - xy = 9, \\ y^2 - xy = 16? \end{cases}$$

Ответ обоснуйте.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy = 9 \\ y^2 - xy = 16 \end{cases} $

Для нахождения количества решений преобразуем данную систему. Можно заметить, что если бы $x=0$ или $y=0$, то левые части уравнений обращались бы в ноль, что противоречит правым частям (9 и 16). Следовательно, $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 16 - 9$

$y^2 - x^2 = 7$

Теперь сложим оба уравнения системы:

$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 9 + 16$

$x^2 - 2xy + y^2 = 25$

Левая часть полученного уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(x - y)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая для значения выражения $(x-y)$:

$x - y = 5$ или $x - y = -5$.

Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

Случай 1: $x - y = 5$

Воспользуемся ранее полученным уравнением $y^2 - x^2 = 7$. Умножим обе части на -1: $x^2 - y^2 = -7$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = -7$.

Подставим в это уравнение значение $x - y = 5$:

$5(x + y) = -7$, откуда получаем $x + y = -7/5$.

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = -7/5 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 5 + (-7/5)$, что приводит к $2x = 25/5 - 7/5 = 18/5$.

Отсюда находим $x = 9/5$.

Чтобы найти $y$, подставим значение $x$ в уравнение $x - y = 5$: $9/5 - y = 5$, откуда $y = 9/5 - 5 = 9/5 - 25/5 = -16/5$.

Таким образом, мы нашли первое решение: $(9/5; -16/5)$.

Случай 2: $x - y = -5$

Аналогично первому случаю, подставим значение $x - y = -5$ в уравнение $(x - y)(x + y) = -7$:

$-5(x + y) = -7$, откуда $x + y = 7/5$.

Составим новую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -5 \\ x + y = 7/5 \end{cases} $

Сложим уравнения системы: $(x - y) + (x + y) = -5 + 7/5$, что дает $2x = -25/5 + 7/5 = -18/5$.

Отсюда $x = -9/5$.

Найдем $y$ из уравнения $x - y = -5$: $-9/5 - y = -5$, откуда $y = -9/5 + 5 = -9/5 + 25/5 = 16/5$.

Таким образом, мы нашли второе решение: $(-9/5; 16/5)$.

Мы рассмотрели все возможные случаи и нашли две различные пары действительных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют исходной системе уравнений. Следовательно, система имеет ровно два решения.

Ответ: 2