Номер 6, страница 61 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Дан треугольник $ABC$, биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$.

Данное утверждение является фундаментальной теоремой геометрии о том, что три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром — центром вписанной в треугольник окружности. Приведём строгое доказательство этого факта.

Пусть в треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle C$ пересекаются в точке $O$. Нам необходимо доказать, что точка $O$ также принадлежит биссектрисе угла $\angle B$.

Ключевым свойством для доказательства является то, что любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Опустим из точки $O$ перпендикуляры на стороны треугольника $ABC$: $OK$ на сторону $AB$, $OL$ на сторону $BC$ и $OM$ на сторону $AC$. Длины этих перпендикуляров $(OK, OL, OM)$ представляют собой расстояния от точки $O$ до соответствующих сторон треугольника.

1. Рассмотрим точку $O$ на биссектрисе угла $A$. Так как она лежит на биссектрисе, она равноудалена от сторон угла, прямых $AB$ и $AC$. Расстояние от $O$ до $AB$ равно длине перпендикуляра $OK$, а расстояние до $AC$ — длине перпендикуляра $OM$. Следовательно, мы имеем равенство: $OK = OM$.

2. Теперь рассмотрим точку $O$ на биссектрисе угла $C$. Аналогично, она равноудалена от сторон этого угла, прямых $BC$ и $AC$. Расстояние от $O$ до $BC$ — это $OL$, а расстояние до $AC$ — это $OM$. Следовательно, мы имеем равенство: $OL = OM$.

3. Сопоставив оба равенства, полученные на предыдущих шагах ($OK = OM$ и $OL = OM$), мы можем сделать вывод, что все три отрезка равны между собой: $OK = OM = OL$. Отсюда, в частности, следует, что $OK = OL$.

Равенство $OK = OL$ означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от сторон $AB$ и $BC$, которые образуют угол $B$.

Согласно свойству биссектрисы (в обратную сторону), если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Поскольку точка $O$ равноудалена от сторон угла $B$, она принадлежит биссектрисе угла $B$.

Таким образом, биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$, являющуюся точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $C$. Это доказывает, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.