Номер 10, страница 61 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны. Высота $BK$, проведенная к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $H$; $HK = 9$ см, $BH = 15$ см.

Найдите площадь параллелограмма.

По условию, $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Следовательно, все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$.

Высота $BK$ проведена к стороне $AD$. Длина высоты равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка $H$: $BK = BH + HK = 15 + 9 = 24$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHK$ и $\triangle CBH$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.
1. $\angle HAK = \angle HCB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
2. $\angle AHK = \angle CHB$ как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники подобны по двум углам: $\triangle AHK \sim \triangle CBH$.

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон: $\frac{AK}{CB} = \frac{HK}{BH}$

Поскольку $ABCD$ — ромб, то $CB = AD$. Подставим известные значения: $\frac{AK}{AD} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Отсюда можем выразить длину отрезка $AK$ через сторону ромба $AD$: $AK = \frac{3}{5}AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. Он является прямоугольным, так как $BK$ — высота к стороне $AD$, следовательно, $\angle BKA = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AK^2 + BK^2$.

Так как $AB = AD$, мы можем обозначить сторону ромба через $x$, то есть $AD = AB = x$. Тогда $AK = \frac{3}{5}x$. Подставим все известные величины в уравнение теоремы Пифагора: $x^2 = \left(\frac{3}{5}x\right)^2 + 24^2$

Решим полученное уравнение относительно $x$: $x^2 = \frac{9}{25}x^2 + 576$ $x^2 - \frac{9}{25}x^2 = 576$ $\frac{25x^2 - 9x^2}{25} = 576$ $\frac{16}{25}x^2 = 576$ $x^2 = \frac{576 \cdot 25}{16}$ $x^2 = 36 \cdot 25 = 900$ $x = \sqrt{900} = 30$ см.

Таким образом, сторона ромба $AD$ равна 30 см.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. В нашем случае основание $AD = 30$ см, а высота $BK = 24$ см. $S_{ABCD} = AD \cdot BK = 30 \cdot 24 = 720$ см².

Ответ: 720 см².