Номер 3, страница 60 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту;

б) медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 : 1;

в) секущая имеет с окружностью ровно две общие точки;

г) гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше любого из катетов?

Для определения неверного утверждения проанализируем каждое из предложенных.

а) площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту;

Данное утверждение верно. Формула площади трапеции имеет вид $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Длина средней линии трапеции $m$ вычисляется как полусумма оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. Подставив это в формулу площади, получаем $S = m \cdot h$.
Ответ: утверждение верное.

б) медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 : 1;

Данное утверждение неверно. Согласно теореме о медианах треугольника, они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Отношение $1:1$ означало бы, что точка пересечения является серединой каждой медианы, что противоречит теореме.
Ответ: утверждение неверное.

в) секущая имеет с окружностью ровно две общие точки;

Данное утверждение верно. По определению, секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Ответ: утверждение верное.

г) гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше любого из катетов?

Данное утверждение верно. В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла ($90^\circ$), который является наибольшим углом треугольника. По свойству треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Также это следует из теоремы Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Поскольку квадраты длин катетов $a^2$ и $b^2$ являются положительными числами, то $c^2$ всегда больше $a^2$ и больше $b^2$, а значит $c > a$ и $c > b$.
Ответ: утверждение верное.

Таким образом, единственным неверным утверждением является утверждение под буквой б).