Номер 9, страница 59 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Сколько решений имеет система уравнений$\begin{cases}x^2 + xy = 15, \\y^2 + xy = 10?\end{cases}$

Ответ обоснуйте.

Чтобы определить количество решений системы уравнений, необходимо её решить. Исходная система: $$ \begin{cases} x^2 + xy = 15 \\ y^2 + xy = 10 \end{cases} $$

Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 15 + 10 $$

Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ x^2 + 2xy + y^2 = 25 $$

Выражение в левой части является формулой полного квадрата суммы $(x+y)^2$. $$ (x+y)^2 = 25 $$

Из этого уравнения следует, что выражение $x+y$ может принимать два значения: $$ x+y = 5 \quad \text{или} \quad x+y = -5 $$

Рассмотрим каждый из этих двух случаев. Для этого преобразуем исходную систему, вынеся общие множители за скобки: $$ \begin{cases} x(x + y) = 15 \\ y(x + y) = 10 \end{cases} $$

Рассмотрим первый случай, когда $x+y=5$.

Подставим это значение в преобразованную систему уравнений: $$ \begin{cases} x \cdot 5 = 15 \\ y \cdot 5 = 10 \end{cases} $$

Из этой системы легко находим значения $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x = \frac{15}{5} = 3 \\ y = \frac{10}{5} = 2 \end{cases} $$

Мы получили первое решение: пара чисел $(3; 2)$. Проверим, выполняется ли для неё условие $x+y=5$: $3+2=5$. Условие выполнено.

Рассмотрим второй случай, когда $x+y=-5$.

Аналогично подставим это значение в преобразованную систему: $$ \begin{cases} x \cdot (-5) = 15 \\ y \cdot (-5) = 10 \end{cases} $$

Находим значения $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x = \frac{15}{-5} = -3 \\ y = \frac{10}{-5} = -2 \end{cases} $$

Мы получили второе решение: пара чисел $(-3; -2)$. Проверим условие $x+y=-5$: $-3+(-2)=-5$. Условие также выполнено.

Таким образом, данная система уравнений имеет два различных решения: $(3; 2)$ и $(-3; -2)$.

Ответ: 2.