Номер 4, страница 58 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

4. Используйте схему для решения неравенства

$\frac{(x-3)^2(x+1)}{(x-2)^3} \le 0$ и запишите ответ.

Для решения неравенства $\frac{(x-3)^2(x+1)}{(x-2)^3} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Схема, представленная на изображении, является графической иллюстрацией этого метода для функции $f(x) = \frac{(x-3)^2(x+1)}{(x-2)^3}$.

1. Анализ ключевых точек на схеме

На числовой оси отмечены точки, в которых числитель или знаменатель дроби обращаются в ноль:

• $x = -1$ и $x = 3$. В этих точках числитель равен нулю, а значит, вся дробь равна нулю ($f(x) = 0$). Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эти точки являются частью решения. На схеме они отмечены закрашенными (сплошными) точками.
• $x = 2$. В этой точке знаменатель равен нулю, поэтому функция не определена. Эта точка исключается из решения независимо от знака неравенства. На схеме она отмечена выколотой (пустой) точкой.

2. Определение знаков функции по схеме

Кривая на схеме показывает знак функции $f(x)$ на интервалах, на которые числовую ось делят ключевые точки. Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) \le 0$, то есть участки, где кривая расположена ниже оси $x$ или касается ее в закрашенных точках.

• На интервале $(-1, 2)$ кривая находится ниже оси $x$, что означает $f(x) < 0$. Этот интервал входит в решение.
• На интервалах $(-\infty, -1)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$ кривая находится выше оси $x$, что означает $f(x) > 0$. Эти интервалы не являются решением.

3. Формирование итогового ответа

Нам нужно объединить все точки и интервалы, где выполняется условие $f(x) \le 0$.

• Из условия $f(x) < 0$ мы получили интервал $(-1, 2)$.
• Из условия $f(x) = 0$ мы получили точки $x = -1$ и $x = 3$.

Объединяем полученные результаты:

1. Включаем точку $x=-1$ в интервал $(-1, 2)$, получая полуинтервал $[-1, 2)$.

2. Добавляем к этому множеству изолированную точку $x=3$.

Таким образом, решением неравенства является объединение полуинтервала и одной точки.

Ответ: $x \in [-1, 2) \cup \{3\}$