Номер 6, страница 59 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Дан треугольник $ABC$, серединные перпендикуляры к его сторонам $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне $AB$ проходит через точку $O$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим серединный перпендикуляр к стороне $AC$ как $m_{AC}$, а серединный перпендикуляр к стороне $BC$ как $m_{BC}$. По условию, прямые $m_{AC}$ и $m_{BC}$ пересекаются в точке $O$.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

1. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_{AC}$ к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что длины отрезков $OA$ и $OC$ равны: $OA = OC$.

2. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_{BC}$ к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. Это означает, что $OB = OC$.

3. Из двух полученных равенств $OA = OC$ и $OB = OC$ следует, что все три отрезка равны между собой: $OA = OB = OC$. В частности, из этого следует, что $OA = OB$.

4. Равенство $OA = OB$ означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $B$.

5. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ принадлежит серединному перпендикуляру к стороне $AB$.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр к стороне $AB$ проходит через точку $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка $O$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам $AC$ и $BC$, она равноудалена от вершин $A, C$ и $B$ ($OA = OC$ и $OB = OC$, следовательно $OA = OB$). Равенство $OA = OB$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.