Номер 9, страница 57 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. На плане размеры прямоугольника $20 \text{ мм} \times 15 \text{ мм}$. В реальности площадь прямоугольника равна $300 \text{ см}^2$. Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям его периметр на $100 \text{ мм}$ больше периметра прямоугольника.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти масштаб плана, затем вычислить реальные размеры фигур и, наконец, определить размеры квадрата на плане.

1. Определение масштаба плана.

Сначала найдем площадь прямоугольника на плане ($S_{план}$), используя его размеры $20 \text{ мм} \times 15 \text{ мм}$: $S_{план} = 20 \text{ мм} \times 15 \text{ мм} = 300 \text{ мм}^2$.

Реальная площадь прямоугольника ($S_{реал}$) дана как $300 \text{ см}^2$. Чтобы сравнить площади, переведем реальную площадь в квадратные миллиметры. Зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, получаем $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$. $S_{реал} = 300 \times 100 \text{ мм}^2 = 30000 \text{ мм}^2$.

Отношение реальной площади к площади на плане равно квадрату коэффициента линейного масштаба ($k$): $k^2 = \frac{S_{реал}}{S_{план}} = \frac{30000 \text{ мм}^2}{300 \text{ мм}^2} = 100$.

Следовательно, коэффициент линейного масштаба: $k = \sqrt{100} = 10$.

Это означает, что все реальные линейные размеры в 10 раз больше размеров на плане (масштаб 1:10).

2. Вычисление реального периметра прямоугольника.

Найдем реальные стороны прямоугольника ($a_{реал}$ и $b_{реал}$), умножив их размеры на плане на коэффициент масштаба $k=10$: $a_{реал} = 20 \text{ мм} \times 10 = 200 \text{ мм}$. $b_{реал} = 15 \text{ мм} \times 10 = 150 \text{ мм}$.

Теперь вычислим реальный периметр прямоугольника ($P_{прям}$): $P_{прям} = 2 \times (a_{реал} + b_{реал}) = 2 \times (200 \text{ мм} + 150 \text{ мм}) = 2 \times 350 \text{ мм} = 700 \text{ мм}$.

3. Нахождение размеров квадрата на плане.

Согласно условию, реальный периметр квадрата ($P_{кв}$) на 100 мм больше реального периметра прямоугольника: $P_{кв} = P_{прям} + 100 \text{ мм} = 700 \text{ мм} + 100 \text{ мм} = 800 \text{ мм}$.

Периметр квадрата — это сумма длин его четырех равных сторон. Найдем длину реальной стороны квадрата ($c_{реал}$): $c_{реал} = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{800 \text{ мм}}{4} = 200 \text{ мм}$.

Чтобы изобразить квадрат в заданном масштабе, нужно найти его сторону на плане ($c_{план}$), разделив реальную длину стороны на коэффициент масштаба $k=10$: $c_{план} = \frac{c_{реал}}{k} = \frac{200 \text{ мм}}{10} = 20 \text{ мм}$.

Таким образом, на плане необходимо начертить квадрат со стороной 20 мм.

Ответ: На плане нужно изобразить квадрат со стороной 20 мм.