Номер 8, страница 57 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Постройте график функции $y = \frac{(x-4)^2}{x-4}$. Определите, при каких значениях аргумента значение функции не меньше $-2$.

Постройте график функции $y = \frac{(x-4)^2}{x-4}$

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x - 4 \neq 0$
$x \neq 4$
Таким образом, $D(y): x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

При всех $x$ из области определения функцию можно упростить, сократив дробь на $(x-4)$:
$y = \frac{(x-4)^2}{x-4} = x - 4$.

Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x - 4$, за исключением точки с абсциссой $x = 4$.

Графиком функции $y = x - 4$ является прямая. Для ее построения найдем координаты двух любых точек:
- при $x=0$, $y=0-4=-4$; точка (0, -4).
- при $x=5$, $y=5-4=1$; точка (5, 1).

Теперь определим координаты точки, которая должна быть исключена («выколота») из графика. Для этого подставим значение $x=4$ в упрощенную функцию $y=x-4$:
$y = 4 - 4 = 0$.
Значит, точка с координатами (4, 0) не принадлежит графику.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x - 4$ с выколотой точкой (4, 0).

Определите, при каких значениях аргумента значение функции не меньше -2

Условие «значение функции не меньше -2» можно записать в виде неравенства:
$y \ge -2$.

Используя упрощенный вид функции $y = x-4$, получим:
$x - 4 \ge -2$.

Решим это линейное неравенство:
$x \ge -2 + 4$
$x \ge 2$.

Полученное решение необходимо соотнести с областью определения функции, то есть с условием $x \neq 4$.
Таким образом, из промежутка $[2; +\infty)$ нужно исключить точку $x=4$.

Ответ: $x \in [2; 4) \cup (4; +\infty)$.