Номер 7, страница 57 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств

$ \begin{cases} \frac{1}{3}(3 - 6x) + 3x \le 1, \\ \frac{1}{2}(2x - 12) - 5x \le 0. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства:

$ \frac{1}{3}(3 - 6x) + 3x \le 1 $

Раскроем скобки в левой части:

$ \frac{1}{3} \cdot 3 - \frac{1}{3} \cdot 6x + 3x \le 1 $

$ 1 - 2x + 3x \le 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 1 + x \le 1 $

Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$ x \le 1 - 1 $

$ x \le 0 $

Таким образом, решением первого неравенства является множество $ (-\infty; 0] $.

Решение второго неравенства:

$ \frac{1}{2}(2x - 12) - 5x \le 0 $

Раскроем скобки:

$ \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{2} \cdot 12 - 5x \le 0 $

$ x - 6 - 5x \le 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -4x - 6 \le 0 $

Перенесем -6 из левой части в правую с противоположным знаком:

$ -4x \le 6 $

Разделим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge \frac{6}{-4} $

$ x \ge -1.5 $

Решением второго неравенства является множество $ [-1.5; +\infty) $.

Нахождение решения системы и наименьшего целого числа:

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого объединим их в систему:

$ \begin{cases} x \le 0 \\ x \ge -1.5 \end{cases} $

Решением этой системы является промежуток $ [-1.5; 0] $.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку. Целыми числами в отрезке $ [-1.5; 0] $ являются -1 и 0.

Наименьшее из них — это -1.

Ответ: -1