Номер 8, страница 67 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. При каких действительных значениях a график функции $y = x^2 - 5x + 5a$ имеет с осью абсцисс единственную общую точку?

График функции $y = x^2 - 5x + 5a$ является параболой. Условие, что график имеет с осью абсцисс (осью $Ox$) единственную общую точку, означает, что уравнение, которое получается при приравнивании $y$ к нулю, должно иметь ровно один действительный корень.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс, решив уравнение:

$x^2 - 5x + 5a = 0$

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с коэффициентами:

$A = 1$, $B = -5$, $C = 5a$.

Квадратное уравнение имеет единственный действительный корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a)$

$D = 25 - 20a$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и найдем соответствующее значение $a$:

$25 - 20a = 0$

$20a = 25$

$a = \frac{25}{20}$

Сократив дробь, получаем:

$a = \frac{5}{4}$

При этом значении $a$ график функции касается оси абсцисс в одной точке (в своей вершине).

Ответ: $a = \frac{5}{4}$.