Номер 9, страница 67 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Какое наименьшее число членов прогрессии $32,5$; $37,5$; $42,5$; $...$ нужно взять, чтобы их сумма была больше $2160$?

Данная последовательность чисел 32,5; 37,5; 42,5; ... является арифметической прогрессией, так как разность между последующим и предыдущим членами постоянна.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 32,5$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 37,5 - 32,5 = 5$.

Требуется найти наименьшее число членов $n$, при котором их сумма $S_n$ будет больше 2160. Это можно записать в виде неравенства: $S_n > 2160$.

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим значения $a_1 = 32,5$ и $d = 5$ в неравенство:

$\frac{2 \cdot 32,5 + 5(n-1)}{2} \cdot n > 2160$

Выполним преобразования:

$\frac{65 + 5n - 5}{2} \cdot n > 2160$

$\frac{60 + 5n}{2} \cdot n > 2160$

Умножим обе части на 2:

$(60 + 5n)n > 4320$

$5n^2 + 60n - 4320 > 0$

Разделим неравенство на 5 для упрощения:

$n^2 + 12n - 864 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + 12n - 864 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-864) = 144 + 3456 = 3600$

Корни уравнения равны:

$n_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{-12 \pm 60}{2}$

$n_1 = \frac{-12 - 60}{2} = -36$

$n_2 = \frac{-12 + 60}{2} = 24$

Парабола $y = n^2 + 12n - 864$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 + 12n - 864 > 0$ выполняется при $n < -36$ или $n > 24$.

Так как число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только условие $n > 24$.

Наименьшее целое число, которое больше 24, это 25.

Таким образом, наименьшее число членов прогрессии, сумма которых будет больше 2160, равно 25.

Ответ: 25.