Номер 7, страница 67 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. $ABCD$ — прямоугольник с периметром, равным 28 см, у которого $AC = 10$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$.

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $a$ и $b$, то есть $AB = a$ и $AD = b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 28 см. $2(a+b) = 28$ $a+b = 14$

Диагональ $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $AB^2 + BC^2 = AC^2$

Так как $BC = AD = b$, получаем: $a^2 + b^2 = 10^2$ $a^2 + b^2 = 100$

Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} a+b=14 \\ a^2+b^2=100 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 14 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение: $a^2 + (14 - a)^2 = 100$ $a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100$ $2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$ $2a^2 - 28a + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения равны $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Если $a=6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.

Если $a=8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $A$ прямой ($90^\circ$), следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным. Его катеты — это стороны прямоугольника $AB$ и $AD$. Пусть $AB = 6$ см и $AD = 8$ см.

Гипотенуза $BD$ является диагональю прямоугольника. Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому $BD = AC = 10$ см.

Требуется найти радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник $ABD$. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Подставим значения сторон треугольника $ABD$: $r = \frac{6+8-10}{2} = \frac{14-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: 2 см.