Номер 3, страница 68 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) окружность, описанная около треугольника, проходит через все его вершины;

б) косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;

в) средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований;

г) радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти из формулы $S = pr$?

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать каждое из четырех утверждений на предмет его истинности.

а) окружность, описанная около треугольника, проходит через все его вершины;

Это утверждение является точным определением окружности, описанной около треугольника. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Для любого треугольника такая окружность существует и она единственна. Следовательно, утверждение является верным.

б) косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;

Это утверждение неверно. Согласно определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Утверждение же описывает синус острого угла: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

в) средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований;

Это утверждение является теоремой о средней линии трапеции. Длина средней линии, которая соединяет середины боковых сторон, действительно равна полусумме ее оснований. Если длины оснований равны $a$ и $b$, то длина средней линии $m$ равна $m = \frac{a+b}{2}$. Следовательно, утверждение является верным.

г) радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти из формулы S = pr?

Это утверждение верно. Площадь треугольника $S$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p$ (половина суммы длин сторон) формулой $S = pr$. Из этой формулы можно выразить радиус $r = \frac{S}{p}$. Таким образом, формула позволяет найти радиус вписанной окружности.

Проанализировав все утверждения, мы приходим к выводу, что единственным неверным является утверждение б).

Ответ: б) косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;