Номер 9, страница 69 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Какое наименьшее число членов прогрессии $31,5; 36,5; 41,5; \dots$ нужно взять, чтобы их сумма была больше $84$?

9.

Данная последовательность чисел 31,5; 36,5; 41,5; ... является арифметической прогрессией. Определим её основные параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 31,5$.

Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый следующий член от предыдущего. Найдем её:

$d = a_2 - a_1 = 36,5 - 31,5 = 5$.

Проверим на следующей паре членов, чтобы убедиться:

$a_3 - a_2 = 41,5 - 36,5 = 5$.

Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия с разностью $d=5$.

По условию задачи, нам нужно найти наименьшее число членов $n$, сумма которых $S_n$ будет больше 84. Это можно записать в виде неравенства:

$S_n > 84$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 31,5$ и $d = 5$ и решим полученное неравенство:

$\frac{2 \cdot 31,5 + 5(n-1)}{2} \cdot n > 84$

$\frac{63 + 5n - 5}{2} \cdot n > 84$

$\frac{58 + 5n}{2} \cdot n > 84$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 2:

$(58 + 5n) \cdot n > 168$

$58n + 5n^2 > 168$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$5n^2 + 58n - 168 > 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5n^2 + 58n - 168 = 0$. Воспользуемся формулой корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 58^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-168) = 3364 + 3360 = 6724$

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-58 \pm \sqrt{6724}}{2 \cdot 5} = \frac{-58 \pm 82}{10}$

Вычисляем два корня:

$n_1 = \frac{-58 + 82}{10} = \frac{24}{10} = 2,4$

$n_2 = \frac{-58 - 82}{10} = \frac{-140}{10} = -14$

Графиком функции $y = 5n^2 + 58n - 168$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($5>0$). Это означает, что значения функции положительны вне интервала между корнями, то есть при $n < -14$ или $n > 2,4$.

Так как $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Поэтому отрицательный корень и соответствующий интервал нас не интересуют. Остается условие $n > 2,4$.

Наименьшее целое число, которое больше 2,4, — это 3.

Сделаем проверку.

При $n=2$, сумма $S_2 = a_1 + a_2 = 31,5 + 36,5 = 68$. $68 \ngtr 84$.

При $n=3$, сумма $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 31,5 + 36,5 + 41,5 = 109,5$. $109,5 > 84$.

Условие выполняется.

Ответ: 3