Номер 8, страница 69 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 6x + 3a$ имеет с осью абсцисс единственную общую точку?

График функции $y = x^2 - 6x + 3a$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).

График функции имеет с осью абсцисс (осью Ox) общие точки, когда значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти абсциссы этих точек, необходимо решить уравнение:

$x^2 - 6x + 3a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Условие, что график функции имеет с осью абсцисс единственную общую точку, эквивалентно тому, что данное квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень.

Квадратное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 6x + 3a = 0$. Коэффициенты этого уравнения: $A=1$, $B=-6$, $C=3a$.

По формуле дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a) = 36 - 12a$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $a$:

$36 - 12a = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$12a = 36$

$a = \frac{36}{12}$

$a = 3$

Следовательно, при $a=3$ дискриминант равен нулю, и график функции $y = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ касается оси абсцисс в единственной точке $x=3$.

Ответ: $a=3$.