Номер 5, страница 70 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В угол $A$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла в точках $B$ и $C$. Найдите угол $BCO$, если $\angle A = 64^{\circ}$.

Рассмотрим четырехугольник $ABOC$, образованный вершиной угла $A$ и точками касания $B$, $C$, а также центром окружности $O$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны сторонам угла в точках $B$ и $C$ соответственно.

Это означает, что углы $∠ABO$ и $∠ACO$ являются прямыми:

$∠ABO = 90°$

$∠ACO = 90°$

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $ABOC$ это записывается как:

$∠A + ∠ABO + ∠BOC + ∠ACO = 360°$

Подставим известные значения углов в это уравнение:

$64° + 90° + ∠BOC + 90° = 360°$

$244° + ∠BOC = 360°$

Отсюда найдем угол $∠BOC$:

$∠BOC = 360° - 244° = 116°$

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны: $OB = OC$.

Это значит, что треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$∠OBC = ∠BCO$

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Для треугольника $BOC$ имеем:

$∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°$

Заменяя $∠OBC$ на равный ему $∠BCO$, получаем:

$∠BOC + 2 \cdot ∠BCO = 180°$

Подставим найденное значение угла $∠BOC = 116°$:

$116° + 2 \cdot ∠BCO = 180°$

$2 \cdot ∠BCO = 180° - 116°$

$2 \cdot ∠BCO = 64°$

$∠BCO = \frac{64°}{2} = 32°$

Ответ: $32°$.