Номер 9, страница 71 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи воспользуемся методом построения дополнительного треугольника, чтобы найти высоту трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $BC = 10$ см, $AD = 35$ см. Боковые стороны $AB = 15$ см и $CD = 20$ см.

1. Проведем из вершины $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $K$. Получим параллелограмм $ABCK$ и треугольник $CKD$.

2. В параллелограмме $ABCK$ противоположные стороны равны, следовательно:
$AK = BC = 10$ см.
$CK = AB = 15$ см.

3. Найдем длину отрезка $KD$ на большем основании:
$KD = AD - AK = 35 - 10 = 25$ см.

4. Теперь у нас есть треугольник $CKD$ со сторонами:
$CK = 15$ см,
$CD = 20$ см,
$KD = 25$ см.

Высота этого треугольника, проведенная из вершины $C$ к основанию $KD$, является также высотой трапеции $h$. Найдем площадь треугольника $CKD$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

5. Вычислим полупериметр треугольника $CKD$:
$p = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

6. Вычислим площадь треугольника $CKD$:
$S_{CKD} = \sqrt{30(30-15)(30-20)(30-25)} = \sqrt{30 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{22500} = 150$ см².

7. С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h$. В нашем случае основание это $KD$, а высота $h$ — это высота трапеции.
$S_{CKD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h$
$150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$
$300 = 25 \cdot h$
$h = \frac{300}{25} = 12$ см.

8. Теперь, зная высоту трапеции, можем найти ее площадь по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания.
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{10 + 35}{2} \cdot 12 = \frac{45}{2} \cdot 12 = 45 \cdot 6 = 270$ см².

Ответ: 270 см².