Номер 5, страница 72 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В угол $B$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $C$. Найдите угол $ABO$, если $\angle AOC = 118^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OABC$.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $B$ и касается его сторон в точках $A$ и $C$, то отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами, проведенными в точки касания.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно:
$OA \perp BA$, из чего следует, что $\angle OAB = 90^\circ$.
$OC \perp BC$, из чего следует, что $\angle OCB = 90^\circ$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$. Для четырехугольника $OABC$ можно записать:
$\angle ABC + \angle OCB + \angle AOC + \angle OAB = 360^\circ$.

Подставим в это равенство известные нам значения углов:
$\angle ABC + 90^\circ + 118^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.
$\angle ABC + 298^\circ = 360^\circ$.

Отсюда найдем величину угла $ABC$:
$\angle ABC = 360^\circ - 298^\circ$.
$\angle ABC = 62^\circ$.

Центр окружности, вписанной в угол, всегда лежит на биссектрисе этого угла. Это означает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.

По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle ABO = \frac{\angle ABC}{2}$.

Теперь мы можем вычислить искомый угол $\angle ABO$:
$\angle ABO = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$.

Ответ: $31^\circ$.