Номер 10, страница 73 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$.

Найдите значение выражения $\frac{2x_1x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $x^2 - 3x - 5 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-3$ и $c=-5$.

Применим теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней:

• $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$
• $x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5$

Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{2x_1x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2}$.

Вынесем общий множитель $-5$ в знаменателе:

$\frac{2x_1x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)}$

Нам необходимо найти значение суммы квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через известные нам сумму и произведение корней. Для этого воспользуемся тождеством квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Из этого тождества следует:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим найденные ранее значения $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1x_2 = -5$:

$x_1^2 + x_2^2 = (3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19$

Теперь подставим значения $x_1x_2 = -5$ и $x_1^2 + x_2^2 = 19$ в искомое выражение:

$\frac{2x_1x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)} = \frac{2 \cdot (-5)}{-5 \cdot 19} = \frac{-10}{-95}$

Сократим полученную дробь. Можно заметить, что и числитель, и знаменатель делятся на $-5$:

$\frac{-10}{-95} = \frac{10}{95} = \frac{2 \cdot 5}{19 \cdot 5} = \frac{2}{19}$

Ответ: $\frac{2}{19}$