Номер 7, страница 74 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Сократите дробь $\frac{b^2 + 15b + 56}{b^2 + 3b - 28}$ и найдите значение полученного выражения при $b = -6$.

Сокращение дроби

Для того чтобы сократить дробь $\frac{b^2 + 15b + 56}{b^2 + 3b - 28}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Разложим на множители числитель $b^2 + 15b + 56$.
Для этого решим квадратное уравнение $b^2 + 15b + 56 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.
Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$b_2 = \frac{-15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Таким образом, $b^2 + 15b + 56 = (b - (-8))(b - (-7)) = (b+8)(b+7)$.

2. Разложим на множители знаменатель $b^2 + 3b - 28$.
Решим квадратное уравнение $b^2 + 3b - 28 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.
Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$b_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, $b^2 + 3b - 28 = (b - (-7))(b - 4) = (b+7)(b-4)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим ее:
$\frac{b^2 + 15b + 56}{b^2 + 3b - 28} = \frac{(b+8)(b+7)}{(b+7)(b-4)}$
Сокращаем на общий множитель $(b+7)$ (при условии, что $b+7 \neq 0$, то есть $b \neq -7$).
$\frac{b+8}{b-4}$

Ответ: $\frac{b+8}{b-4}$.

Нахождение значения полученного выражения при $b = -6$

Теперь необходимо найти значение полученного выражения $\frac{b+8}{b-4}$ при $b=-6$.
Подставим значение $b=-6$ в выражение. Данное значение удовлетворяет условию $b \neq -7$.
$\frac{-6+8}{-6-4} = \frac{2}{-10} = -0.2$.

Ответ: $-0.2$.