Номер 8, страница 75 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $12$ и не превосходящих $121$, которые при делении на $6$ дают в остатке $1$.

Данная задача требует найти сумму всех натуральных чисел $x$, которые удовлетворяют одновременно трем условиям:
1. Числа больше 12: $x > 12$.
2. Числа не превосходят 121: $x \le 121$.
3. Числа при делении на 6 дают в остатке 1.

Последнее условие означает, что искомые числа можно представить в виде формулы $x = 6k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).

Такие числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна 6.

Сначала найдем первый член этой прогрессии, который удовлетворяет условию $x > 12$.
Подставляя последовательно значения $k$:
При $k=0$, $x = 6 \cdot 0 + 1 = 1$ (не удовлетворяет $x > 12$).
При $k=1$, $x = 6 \cdot 1 + 1 = 7$ (не удовлетворяет $x > 12$).
При $k=2$, $x = 6 \cdot 2 + 1 = 13$ (удовлетворяет $x > 12$).
Таким образом, первый член последовательности, которую мы будем суммировать, это $a_1 = 13$.

Теперь найдем последний член прогрессии, удовлетворяющий условию $x \le 121$.
Для этого решим неравенство $6k + 1 \le 121$:
$6k \le 121 - 1$
$6k \le 120$
$k \le \frac{120}{6}$
$k \le 20$
Максимальное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 20.
Найдем соответствующий член прогрессии: $x = 6 \cdot 20 + 1 = 121$.
Итак, последний член нашей последовательности $a_n = 121$.

Мы имеем арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 13$, последний член $a_n = 121$ и разность $d = 6$.
Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$121 = 13 + (n-1) \cdot 6$
$121 - 13 = (n-1) \cdot 6$
$108 = (n-1) \cdot 6$
$n-1 = \frac{108}{6}$
$n-1 = 18$
$n = 19$
Всего в последовательности 19 чисел.

Наконец, вычислим сумму $S_n$ этих 19 членов по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{19} = \frac{13 + 121}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{134}{2} \cdot 19$
$S_{19} = 67 \cdot 19$
$S_{19} = 1273$

Ответ: 1273