Номер 6, страница 74 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. $ABCD$ — параллелограмм, $BK$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне $AD$, $CD = 10$ см, $KD = 7$ см, $\angle A = 60^\circ$. Найдите периметр параллелограмма.

Периметр параллелограмма находится по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны. В нашем случае $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона $AB$ равна стороне $CD$.
$AB = CD = 10$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Так как $BK$ — это высота, проведенная к стороне $AD$, то она перпендикулярна этой стороне ($BK \perp AD$). Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является прямоугольным, где $\angle BKA = 90^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ нам известны гипотенуза $AB = 10$ см и острый угол $\angle A = 60^{\circ}$. Мы можем найти длину катета $AK$, используя тригонометрическую функцию косинуса:
$\cos(\angle A) = \frac{AK}{AB}$
Выразим $AK$:
$AK = AB \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения:
$AK = 10 \cdot \cos(60^{\circ})$
Зная, что значение $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$AK = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Так как угол $\angle A$ параллелограмма острый ($60^{\circ} < 90^{\circ}$), основание высоты $K$ будет лежать на отрезке $AD$. Следовательно, длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$.
$AD = AK + KD = 5 \text{ см} + 7 \text{ см} = 12$ см.

Теперь, зная длины обеих смежных сторон ($AB = 10$ см и $AD = 12$ см), мы можем вычислить периметр параллелограмма:
$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(10 + 12) = 2 \cdot 22 = 44$ см.

Ответ: 44 см.