Номер 3, страница 76 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) около четырехугольника $ABCD$, где $\angle B = 30^{\circ}$, $\angle D = 150^{\circ}$, можно описать окружность;

б) $\cos 60^{\circ} = - \cos 120^{\circ}$;

в) прямой вписанный угол опирается на диаметр;

г) в любом равнобедренном треугольнике все медианы равны между собой?

а) Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. В данном четырехугольнике ABCD углы $\angle B$ и $\angle D$ являются противолежащими. Найдем их сумму:
$\angle B + \angle D = 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противолежащих углов равна $180^\circ$, около этого четырехугольника можно описать окружность. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

б) Проверим данное тригонометрическое равенство.
Значение косинуса $60^\circ$ является табличным: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Для нахождения значения $\cos 120^\circ$ можно использовать формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное равенство:
$\cos 60^\circ = - \cos 120^\circ$
$\frac{1}{2} = -(-\frac{1}{2})$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Равенство выполняется, следовательно, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

в) Это известная теорема о вписанных углах. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Диаметр стягивает дугу, равную половине окружности, то есть $180^\circ$.
Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине от $180^\circ$:
$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Таким образом, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

г) Рассмотрим равнобедренный треугольник, который не является равносторонним. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым (равным) сторонам, равны между собой. Однако медиана, проведенная к основанию, в общем случае им не равна.
Равенство всех трех медиан в треугольнике является признаком равностороннего треугольника. Поскольку утверждение говорит о любом равнобедренном треугольнике, а не только о равностороннем (который является частным случаем равнобедренного), то утверждение в общем виде неверно.
Например, в равнобедренном прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к равным сторонам (катетам), равны между собой, но не равны медиане, проведенной к гипотенузе.
Ответ: утверждение неверно.