Номер 7, страница 76 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Сократите дробь $\frac{t^2 + 9t - 22}{t^2 + 7t - 44}$ и найдите значение полу-

ченного выражения при $t = -6$.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Поскольку и в числителе, и в знаменателе находятся квадратные трехчлены, мы можем найти их корни и представить в виде произведения.

1. Разложение числителя на множители
Рассмотрим числитель $t^2 + 9t - 22$. Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 9t - 22 = 0$.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
$t_1 = \frac{-9 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 13}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители: $t^2 + 9t - 22 = (t - (-11))(t - 2) = (t + 11)(t - 2)$.

2. Разложение знаменателя на множители
Рассмотрим знаменатель $t^2 + 7t - 44$. Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 7t - 44 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$.
$t_1 = \frac{-7 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
$t_2 = \frac{-7 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители: $t^2 + 7t - 44 = (t - (-11))(t - 4) = (t + 11)(t - 4)$.

3. Сокращение дроби
Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{t^2 + 9t - 22}{t^2 + 7t - 44} = \frac{(t + 11)(t - 2)}{(t + 11)(t - 4)}$.
Сокращаем общий множитель $(t+11)$, при условии, что $t \neq -11$.
В результате получаем: $\frac{t - 2}{t - 4}$.

4. Нахождение значения выражения
Теперь найдем значение полученного выражения при $t = -6$.
Подставляем $t = -6$ в сокращенную дробь:
$\frac{-6 - 2}{-6 - 4} = \frac{-8}{-10} = \frac{8}{10} = 0.8$.

Ответ: $0.8$.