Номер 6, страница 76 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. ABCD — параллелограмм, CK — высота параллелограмма, проведенная к стороне AD, $BC = 12 \text{ см}$, $AK = 8 \text{ см}$, $\angle A = 120^\circ$. Найдите периметр параллелограмма.

По свойству параллелограмма противолежащие стороны равны, следовательно, сторона $AD$ равна стороне $BC$.
$AD = BC = 12$ см.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Найдем угол $∠D$, прилежащий к стороне $AD$ вместе с углом $∠A$.
$∠D = 180° - ∠A = 180° - 120° = 60°$.

Высота $CK$ проведена к стороне $AD$, что означает, что треугольник $CKD$ является прямоугольным ($∠CKD = 90°$). Так как угол $∠D = 60°$ острый, основание высоты $K$ лежит на отрезке $AD$.

Сторона $AD$ состоит из двух отрезков: $AK$ и $KD$.
$AD = AK + KD$.
Используя известные значения, найдем длину отрезка $KD$.
$KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. В нем нам известны катет $KD$ и прилежащий к нему угол $∠D$. Сторона $CD$ является гипотенузой этого треугольника. Мы можем найти ее, используя определение косинуса.
$cos(∠D) = \frac{KD}{CD}$.
Подставим известные значения:
$cos(60°) = \frac{4}{CD}$.

Значение косинуса 60° равно $\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{4}{CD}$.
Отсюда находим длину стороны $CD$:
$CD = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AD + CD)$.
Подставим значения длин сторон:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (12 + 8) = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Ответ: 40 см.