Номер 10, страница 75 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 6$, $BC = 8$, $AB = 10$.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.

Для начала определим тип треугольника $ABC$ с заданными сторонами $a=BC=8$, $b=AC=6$, $c=AB=10$.

Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. $c^2 = 10^2 = 100$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы. $R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза. $r = \frac{8+6-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Расстояние $d$ между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника находится по формуле Эйлера: $d^2 = R(R - 2r)$.

Подставим найденные значения $R=5$ и $r=2$ в эту формулу: $d^2 = 5(5 - 2 \cdot 2) = 5(5 - 4) = 5(1) = 5$.

Отсюда, расстояние $d$ равно: $d = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$