Номер 3, страница 74 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) около четырехугольника $ABCD$, где $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle C = 140^{\circ}$, можно описать окружность;

б) $\sin 30^{\circ} = \sin 150^{\circ}$;

в) вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;

г) в любом равнобедренном треугольнике все высоты равны между собой?

Для того чтобы найти неверное утверждение, последовательно проанализируем каждое из предложенных вариантов.

а) около четырехугольника ABCD, где ∠A = 40°, ∠C = 140°, можно описать окружность;

Согласно свойству четырехугольника, вписанного в окружность, это возможно тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180°$. В данном случае нам даны противолежащие углы $∠A$ и $∠C$. Проверим их сумму: $∠A + ∠C = 40° + 140° = 180°$. Поскольку условие выполняется, около данного четырехугольника действительно можно описать окружность. Таким образом, это утверждение верно.

б) sin 30° = sin 150°;

Для проверки этого равенства можно воспользоваться формулой приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$. Если взять $\alpha = 30°$, то получим $sin(180° - 30°) = sin(30°)$, что равносильно $sin(150°) = sin(30°)$. Также можно сравнить их числовые значения: $sin 30° = \frac{1}{2}$ и $sin 150° = \frac{1}{2}$. Равенство выполняется. Таким образом, это утверждение верно.

в) вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;

Это известная теорема из геометрии. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Диаметр является хордой, которая стягивает дугу, равную половине окружности, то есть $180°$. Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине этой дуги: $180° / 2 = 90°$. Угол в $90°$ является прямым. Таким образом, это утверждение верно.

г) в любом равнобедренном треугольнике все высоты равны между собой?

Это утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике равны только высоты, проведенные к боковым (равным) сторонам. Высота, опущенная на основание, как правило, не равна им. Равенство всех трех высот наблюдается только в частном случае равнобедренного треугольника — в равностороннем треугольнике. Так как утверждение должно быть справедливо для любого равнобедренного треугольника, оно ложно. В качестве контрпримера можно рассмотреть равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Высота к основанию равна 8, а высоты к боковым сторонам равны 9,6. Так как $8 \neq 9,6$, не все высоты равны.

По результатам анализа, утверждения а), б), в) являются верными, а утверждение г) — неверным. Задачей является найти неверное утверждение.

Ответ: г