Номер 9, страница 73 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Основания трапеции равны 5 см и 15 см, боковые стороны — 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи нам нужно найти высоту трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 15$ см и $BC = 5$ см. Боковые стороны $AB = 6$ см и $CD = 8$ см.

Проведем из вершины $B$ прямую $BE$, параллельную стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$. Мы получим треугольник $ABE$ и параллелограмм $BCDE$.

Так как $BCDE$ — параллелограмм, то:
$BE = CD = 8$ см
$ED = BC = 5$ см

Теперь найдем длину стороны $AE$ треугольника $ABE$:
$AE = AD - ED = 15 - 5 = 10$ см

Мы получили треугольник $ABE$ со сторонами $AB = 6$ см, $BE = 8$ см и $AE = 10$ см.

Высота этого треугольника, проведенная из вершины $B$ к стороне $AE$, будет являться и высотой трапеции $h$.

Найдем площадь треугольника $ABE$. Заметим, что для его сторон выполняется теорема Пифагора:
$AB^2 + BE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AE^2 = 10^2 = 100$
Поскольку $AB^2 + BE^2 = AE^2$, треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Площадь этого прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:
$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. В нашем случае, используя основание $AE$ и высоту $h$:
$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$

Приравняем два выражения для площади и найдем высоту $h$:
$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$
$24 = 5h$
$h = \frac{24}{5} = 4.8$ см

Теперь, когда высота известна, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{15+5}{2} \cdot 4.8 = \frac{20}{2} \cdot 4.8 = 10 \cdot 4.8 = 48$ см².

Ответ: 48 см².