Номер 10, страница 77 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 9$, $BC = 12$, $AB = 15$. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.

Для нахождения расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей, которое обозначим как $d$, используется формула Эйлера: $d^2 = R(R - 2r)$, где $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности. Для решения задачи необходимо последовательно найти $R$ и $r$.

Сперва определим тип треугольника $ABC$ со сторонами $AC = 9$, $BC = 12$ и $AB = 15$. Для этого проверим, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора.

Сумма квадратов двух меньших сторон: $AC^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.

Квадрат большей стороны: $AB^2 = 15^2 = 225$.

Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB$.

Теперь найдём радиус описанной окружности $R$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.

Далее найдём радиус вписанной окружности $r$. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Наконец, подставим найденные значения $R = 7.5$ и $r = 3$ в формулу Эйлера для вычисления расстояния $d$ между центрами.

$d^2 = R(R - 2r) = 7.5 \cdot (7.5 - 2 \cdot 3) = 7.5 \cdot (7.5 - 6) = 7.5 \cdot 1.5$.

Для удобства дальнейших вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$d^2 = \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{45}{4}$.

Чтобы найти $d$, извлечём квадратный корень из полученного значения:

$d = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.