Номер 6, страница 78 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Периметр ромба $ABCD$ равен 48 см, острый угол $A$ ромба равен $60^\circ$. Найдите меньшую диагональ $BD$ ромба.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Периметр ромба $ABCD$ равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, периметр $P$ можно найти по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны ромба.

Из условия известно, что периметр ромба равен 48 см. Найдем длину стороны ромба $a$: $a = P / 4 = 48 \text{ см} / 4 = 12 \text{ см}$.

Следовательно, все стороны ромба равны 12 см: $AB = BC = CD = DA = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он состоит из двух сторон ромба, $AB$ и $AD$, и диагонали $BD$. Длины сторон $AB$ и $AD$ равны 12 см. Угол между этими сторонами, $\angle A$, по условию задачи равен $60°$.

Так как в треугольнике $ABD$ две стороны равны ($AB = AD = 12 \text{ см}$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle ABD = \angle ADB$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Для треугольника $ABD$ справедливо равенство: $\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180°$.

Подставим известные значения и учтем, что $\angle ABD = \angle ADB$: $60° + 2 \cdot \angle ABD = 180°$.

Найдем величину угла $\angle ABD$: $2 \cdot \angle ABD = 180° - 60° = 120°$. $\angle ABD = 120° / 2 = 60°$.

Таким образом, все углы в треугольнике $ABD$ равны $60°$ ($\angle A = 60°, \angle ABD = 60°, \angle ADB = 60°$). Это означает, что треугольник $ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, длина диагонали $BD$ равна длине сторон $AB$ и $AD$: $BD = AB = AD = 12 \text{ см}$.

В ромбе меньшая диагональ лежит напротив острого угла. Так как диагональ $BD$ лежит напротив острого угла $\angle A = 60°$, то $BD$ является меньшей диагональю ромба.

Ответ: 12 см.