Номер 3, страница 80 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы;

б) если дан треугольник ABC, где R — радиус его описанной окружности, то $\frac{BC}{\sin A} = 2R$;

в) сумма углов любого четырехугольника равна 180°;

г) около любого квадрата можно описать окружность?

а) Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Если угол равен $30^{\circ}$, то его синус равен $\frac{1}{2}$. Пусть катет $a$ лежит против угла $\alpha = 30^{\circ}$, а гипотенуза равна $c$. Тогда $\sin \alpha = \frac{a}{c}$. Подставляя известные значения, получаем $\frac{1}{2} = \frac{a}{c}$, откуда следует, что $a = \frac{c}{2}$. Таким образом, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, действительно равен половине гипотенузы.
Ответ: утверждение верно.

б) Это утверждение верно. Оно представляет собой следствие из теоремы синусов (расширенная теорема синусов) для треугольника $ABC$. Теорема гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности. Для стороны $BC$ и противолежащего угла $A$ это записывается как $\frac{BC}{\sin A} = 2R$, где $R$ – радиус описанной окружности.
Ответ: утверждение верно.

в) Это утверждение неверно. Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. Для четырехугольника, у которого $n=4$, сумма его углов равна $(4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$. Также любой четырехугольник можно разбить диагональю на два треугольника. Поскольку сумма углов каждого треугольника равна $180^{\circ}$, сумма углов четырехугольника будет равна $180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}$. Утверждение, что сумма углов равна $180^{\circ}$, неверно.
Ответ: утверждение неверно.

г) Это утверждение верно. Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$. Квадрат является четырехугольником, у которого все углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Сумма любых двух противолежащих углов квадрата равна $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, условие выполняется, и около любого квадрата можно описать окружность.
Ответ: утверждение верно.