Номер 8, страница 81 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Двое сотрудников по озеленению Национального историко-культурного музея-заповедника «Несвиж» могут выполнить уборку части парка за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый сотрудник, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за три дня?

Пусть весь объём работы равен 1. Обозначим производительность первого сотрудника (часть работы, выполняемая за один день) как $p_1$, а производительность второго сотрудника — как $p_2$.

По условию, работая вместе, два сотрудника выполняют всю работу за 12 дней. Их общая производительность составляет $p_1 + p_2$. За 12 дней они выполняют работу, равную 1. Это можно записать в виде уравнения:

$(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1$

Отсюда следует, что их совместная производительность за один день равна:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

Также в условии сказано, что первый сотрудник за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за 3 дня. Работа, выполненная первым сотрудником за 2 дня, составляет $2 \cdot p_1$. Работа, выполненная вторым за 3 дня, — $3 \cdot p_2$. Составим второе уравнение:

$2p_1 = 3p_2$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \\ 2p_1 = 3p_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим производительность второго сотрудника $p_2$ через производительность первого $p_1$:

$p_2 = \frac{2}{3}p_1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$p_1 + \frac{2}{3}p_1 = \frac{1}{12}$

Решим полученное уравнение относительно $p_1$:

$\frac{3}{3}p_1 + \frac{2}{3}p_1 = \frac{1}{12}$

$\frac{5}{3}p_1 = \frac{1}{12}$

$p_1 = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Таким образом, производительность первого сотрудника составляет $\frac{1}{20}$ всей работы в день. Время $t_1$, за которое он выполнит всю работу (равную 1) в одиночку, равно:

$t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$

Следовательно, первому сотруднику потребуется 20 дней, чтобы выполнить всю работу самостоятельно.

Ответ: 20 дней.