Номер 10, страница 81 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Определите знак выражения $\frac{2}{9}x_1 - x_2$, где $x_1, x_2$ — корни уравнения $(5 - 2\sqrt{6})x^2 - 10x + 9(5 + 2\sqrt{6}) = 0$ и $x_1 > x_2$.

Для определения знака выражения $\frac{2}{9}x_1 - x_2$ необходимо сначала найти корни $x_1$ и $x_2$ заданного квадратного уравнения $(5 - 2\sqrt{6})x^2 - 10x + 9(5 + 2\sqrt{6}) = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 5 - 2\sqrt{6}$
$b = -10$
$c = 9(5 + 2\sqrt{6})$

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Найдем дискриминант. Для удобства вычисления заметим, что произведение $a$ и $c$ можно упростить, используя формулу разности квадратов:

$ac = (5 - 2\sqrt{6}) \cdot 9(5 + 2\sqrt{6}) = 9 \cdot (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 9 \cdot (5^2 - (2\sqrt{6})^2) = 9 \cdot (25 - 4 \cdot 6) = 9 \cdot (25 - 24) = 9$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$.

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-10) \pm 8}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{10 \pm 8}{2(5 - 2\sqrt{6})}$.

Один корень: $x' = \frac{10 + 8}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{18}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{9}{5 - 2\sqrt{6}}$.

Другой корень: $x'' = \frac{10 - 8}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{2}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{1}{5 - 2\sqrt{6}}$.

Упростим выражения для корней, избавившись от иррациональности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение $5 + 2\sqrt{6}$:

$x' = \frac{9}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{1} = 45 + 18\sqrt{6}$.

$x'' = \frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{1(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$.

По условию задачи $x_1 > x_2$. Сравнивая полученные значения, видим, что $45 + 18\sqrt{6} > 5 + 2\sqrt{6}$.
Следовательно, $x_1 = 45 + 18\sqrt{6}$ и $x_2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Теперь определим знак выражения $\frac{2}{9}x_1 - x_2$, подставив в него найденные значения корней:

$\frac{2}{9}x_1 - x_2 = \frac{2}{9}(45 + 18\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6})$.

Раскроем скобки и выполним вычисления:

$(\frac{2}{9} \cdot 45 + \frac{2}{9} \cdot 18\sqrt{6}) - 5 - 2\sqrt{6} = (2 \cdot 5 + 2 \cdot 2\sqrt{6}) - 5 - 2\sqrt{6} = (10 + 4\sqrt{6}) - 5 - 2\sqrt{6}$.

Группируя слагаемые, получаем:

$(10 - 5) + (4\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6}$.

Значение выражения равно $5 + 2\sqrt{6}$. Так как $5 > 0$ и $2\sqrt{6} > 0$, их сумма также положительна. Следовательно, знак выражения положительный.

Ответ: выражение положительно.