Номер 7, страница 82 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите число целых решений неравенства

$\frac{(x - 3)(-x^2 + 5x + 6)}{x - 5} \ge 0.$

Для решения неравенства $\frac{(x-3)(-x^2 + 5x + 6)}{x-5} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $x-5 \neq 0$, что означает $x \neq 5$.

2. Нахождение нулей числителя и знаменателя

Нули — это значения $x$, при которых числитель или знаменатель равны нулю. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, в которых выражение сохраняет свой знак.

Нули числителя: $(x-3)(-x^2 + 5x + 6) = 0$.

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

$x-3 = 0 \implies x = 3$.

Или

$-x^2 + 5x + 6 = 0$. Умножим обе части на -1: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Корнями являются $x=6$ и $x=-1$.

Итак, нули числителя: $x = -1, x = 3, x = 6$.

Нуль знаменателя: $x-5=0 \implies x=5$.

3. Применение метода интервалов

Заменим квадратичный трехчлен в числителе на произведение его корней: $-x^2 + 5x + 6 = -(x-6)(x+1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-3)(-(x-6)(x+1))}{x-5} \ge 0$.

Вынесем минус перед дробью и умножим все неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\frac{(x+1)(x-3)(x-6)}{x-5} \ge 0 \implies \frac{(x+1)(x-3)(x-6)}{x-5} \le 0$.

Отметим на числовой оси точки -1, 3, 5, 6. Точки -1, 3, 6 (нули числителя) включаем в решение (закрашиваем), так как неравенство нестрогое. Точку 5 (нуль знаменателя) исключаем (выкалываем).

Определяем знаки выражения $\frac{(x+1)(x-3)(x-6)}{x-5}$ на каждом из полученных интервалов. Проверяем знак в любой точке из интервала:

Интервал $(6; +\infty)$: $x=7 \implies \frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак (+).

Интервал $(5; 6)$: $x=5.5 \implies \frac{(+)(+)(-)}{(+)} < 0$. Знак (-).

Интервал $(3; 5)$: $x=4 \implies \frac{(+)(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак (+).

Интервал $(-1; 3)$: $x=0 \implies \frac{(+)(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак (-).

Интервал $(-\infty; -1)$: $x=-2 \implies \frac{(-)(-)(-)}{(-)} > 0$. Знак (+).

Поскольку мы решаем неравенство $\le 0$, нас интересуют интервалы со знаком "минус".

Решением является объединение интервалов: $x \in [-1; 3] \cup (5; 6]$.

4. Подсчет целых решений

Теперь необходимо найти все целые числа, входящие в полученное решение.

На интервале $[-1; 3]$ находятся целые числа: -1, 0, 1, 2, 3 (всего 5 чисел).

На интервале $(5; 6]$ находится одно целое число: 6.

Общее число целых решений равно $5 + 1 = 6$.

Ответ: 6