Номер 3, страница 84 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) если все стороны квадрата уменьшить в 2 раза, то его площадь уменьшится в 2 раза;

б) в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;

в) сторона квадрата с диагональю $d$ равна $\frac{d}{\sqrt{2}}$;

г) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним?

Чтобы найти неверное утверждение, необходимо проверить истинность каждого из предложенных вариантов.

а) если все стороны квадрата уменьшить в 2 раза, то его площадь уменьшится в 2 раза;

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a^2$.

Если сторону квадрата уменьшить в 2 раза, то новая сторона будет равна $a_{new} = \frac{a}{2}$.

Площадь нового квадрата $S_2$ будет равна $S_2 = (a_{new})^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Чтобы узнать, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{a^2/4} = 4$.

Площадь уменьшилась в 4 раза, а не в 2. Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

б) в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;

Это является свойством треугольника (следствие из теоремы синусов). Теорема о соотношении сторон и углов треугольника гласит, что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.
Ответ: утверждение верно.

в) сторона квадрата с диагональю d равна $\frac{d}{\sqrt{2}}$;

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ равна $d$. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Стороны квадрата $a$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$. $2a^2 = d^2$ $a^2 = \frac{d^2}{2}$ $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$.
Ответ: утверждение верно.

г) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним?

Это теорема о внешнем угле треугольника. Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Внешний угол, смежный с углом $\gamma$, равен $180^\circ - \gamma$.

Из первого равенства можно выразить $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$.

Сравнивая выражения, видим, что внешний угол ($180^\circ - \gamma$) действительно равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($\alpha + \beta$).
Ответ: утверждение верно.

Таким образом, единственным неверным утверждением является утверждение а).