Номер 5, страница 84 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Найдите больший корень уравнения $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Данное уравнение $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$: $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые вычисляются по формулам: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$. $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$, и является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 9$: $x^2 = 9$.

Из этого уравнения находим два корня для исходной переменной $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

В задаче требуется найти больший корень. Сравнивая полученные значения, видим, что $3 > -3$. Следовательно, больший корень уравнения равен 3.

Ответ: 3