Номер 9, страница 85 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 5 см и 12 см, а медиана, проведенная к третьей, равна 6,5 см.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AC = 5$ см, $BC = 12$ см, а медиана $CM$, проведенная к третьей стороне $AB$, равна $6,5$ см.

Для нахождения площади воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Таким образом, $CD = CM + MD = 6,5 + 6,5 = 13$ см.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них ($M$ — середина $AB$ по определению медианы, $M$ — середина $CD$ по построению). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Значит, $ADBC$ — параллелограмм.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $AD = BC = 12$ см. Площадь исходного треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма $ADBC$. Диагональ $CD$ делит параллелограмм $ADBC$ на два равных треугольника: $ADC$ и $BDC$. Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ADC$. $S_{ABC} = S_{ADC}$.

Найдем площадь треугольника $ADC$. Мы знаем длины всех его сторон: $AC=5$ см, $AD=12$ см и $CD=13$ см. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $AC^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $CD^2 = 13^2 = 169$.

Так как $AC^2 + AD^2 = CD^2$, то треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

Поскольку $S_{ABC} = S_{ADC}$, то площадь искомого треугольника равна $30$ см².

Ответ: 30 см².