Номер 7, страница 84 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите число целых решений неравенства

$\frac{(x+3)(-x^2 + 3x + 4)}{x+2} \geq 0$.

Для решения неравенства $\frac{(x+3)(-x^2 + 3x + 4)}{x+2} \geq 0$ применим метод интервалов. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно, $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Далее найдем нули каждого множителя в числителе и знаменателе.

Нули числителя:

Из $x+3=0$ получаем $x_1 = -3$.

Решим уравнение $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим его на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_2=4$ и $x_3=-1$. Таким образом, выражение $-x^2+3x+4$ можно разложить на множители: $-(x-4)(x+1)$.

Нуль знаменателя:

Из $x+2=0$ получаем $x_4 = -2$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:

$\frac{(x+3)(-(x-4)(x+1))}{x+2} \geq 0$

Вынесем знак "минус" из числителя перед дробью и умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-\frac{(x+3)(x-4)(x+1)}{x+2} \geq 0$

$\frac{(x+3)(x-4)(x+1)}{x+2} \leq 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось нули числителя $x=-3$, $x=-1$, $x=4$ (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое) и нуль знаменателя $x=-2$ (выколотой точкой, так как $x \neq -2$). Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов.

Определим знак выражения $f(x) = \frac{(x+3)(x-4)(x+1)}{x+2}$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=5$). Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): -$; $(-2, -1): +$; $(-1, 4): -$; $(4, +\infty): +$.

Нас интересуют промежутки, на которых $f(x) \leq 0$. Это промежутки со знаком "минус", а также точки, в которых числитель равен нулю. Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in [-3, -2) \cup [-1, 4]$.

Последний шаг — найти все целые числа, которые принадлежат этому множеству решений.

На промежутке $[-3, -2)$ находится одно целое число: $-3$.

На промежутке $[-1, 4]$ находятся целые числа: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$. Всего 6 чисел.

Суммируя количество целых решений из обоих промежутков, получаем $1 + 6 = 7$.

Ответ: 7